X
تبلیغات
دروس تخصصی
 
دروس تخصصی
 
 
آموزش دروس تخصصی
 

جذر :

عملیات جذر گیری که توسط رادیکال صورت می پذیرد دقیقاَ برعکس عملیات توان دهی می باشد .

مانند :

*اعداد منفی جذر ندارند و هیچ گاه علامت منفی در زیر رادیکال قرار نمی گیرد چون اگر عددی چه مثبت باشد چه منفی هر گاه مجذور شود و در زیر رادیکال قرار گیرد همیشه مثبت خواهد بود.

مثال:

* آن دسته از جذر هایی که جواب کامل و دقیقی دارند جذر های کامل و یا حقیقی نامیده می شود .

مانند:

                                                                                                                      20 = 400

* آن دسته از اعدادی که جواب کامل و دقیقی ندارد و به صورت تقریبی و اعشاری جذر گرفته می شود جذر های ناقص یا تقریبی نامیده می شود و برای محاسبه ی  آن ها از دستورات العمل زیر استفاده می شود.

* ابتدا علامت رادیکال را به صورت یک تقسیم چند مرحله ای انجام داده  سپس برای عدد زیر رادیکال چهار رقم اعشار      می سازیم و آن ها را دو رقم دو رقم از سمت راست از یک دیگر جدا می کنیم سپس برای آخرین قسمت سمت چپ عددی را کمتر از مجذور کامل آن در نظر می گیریم تا جایی که مراحل جذر گیری به پایان رسد و برای جواب جذر دو رقم اعشار و برای جواب جذر دو رقم اعشار را در نظر می گیریم.

 

دستگاه مبنا «شمارش» :

تمامی ارقام و اعداد در علم حساب در دسته ها وبسته های مختلف به عنوان مبنا دارای تقسیم بندی های متفاوتی هستند که هر یک از آن ها دارای ویژگی های خاصی می باشد پس در واقع هر دستگاه شمارشی مانند انواع ماشین حساب و انواع کامپیوتر ها که وظیفهی شمارش و محاسبه را دارند اعداد و ارقام دریافتی را در یک از مبناهای موجود تجزیه و تحلیل می کند.

1- با توجه به تعریف مبنا و بی اهمیتی تقسیمات صفرتایی و انفرادی می توان گفت مبنای 0 و 1 اثری در تقسیم بندی اعداد ندارد.

2- مبنای هر عدد را به صورت پرانتزی نشان می دهند که عدد مبنا در گوشه و پایین مت راست آن نوشته شده باشد.

3- هر عددی که به عنوان مبنا انتخاب می شود ارقامی که درداخل پرانتزش «     » قرار می گیرنداز خود مبنا باید کوچکتر باشند.

4- از آن جایی که در مبنای دو فقط 0 و 1 قرار می گیرند می توان در یک دستگاه علامت خوان 0 را برای چراغ های خاموش و بدون رنگ  و 1 را برای چراغ های روشنو رنگی در نظر گرفت.

5- اگر عددی از مبنای 10 (نوشتن مبنای 10 الزامی نیست) بخواهد به مبنای غیر 10 حرکت کند از روش تقسیم پلکانی به صوتی که در مثال های زیر آمده است استفاده می کنیم.

6- اگر از مبنای غیر از 10 به مبنای 10 انتقال یابد از روش کد گذاری و توان دهی  به صورت زیر استفاده خواهد شد ، مانند:

7- برای حرکت از مبنای غیر 10 به مبنای غیر 10 انتقال یابد از روش کدگذاری سپس از روش تقسیم پلکانی استفاده می کنیم و در واقع به صورت غیر مستقیم ابتدا از مبنای اول به 10 رفته سپس از 10 به دو می رسیم ، مانند:

 

درصد،نسبت،تناسب :

* درصد یک نماد علمی و ریاضی اسست که برای کسرهایی که دارای مخرج صد باشند ویا مخرجی از مقسوم علیه ها ویا مضرب های صد داشته باشند استفاده می شود و معنی درصد بدان معناست که در درصد حالت ممکن چند حالت مطلوب ما می باشد.

یاد آور می شویم که مجموع همه ی درصد ها و مرجع همهی کسر ها 100 می باشد.

 

* هر گاه در یک مسئله کل مقدار را بخواهیم به سهم های غیر مسای تقسیم کنیم هر یک از آن سهم هارا به صورت یک نسبت از کل مقدار نشان می دهیم، بنا بر این برای محاسبهی مسائل نسبت معمولاً ابتدا مجموع نسبت ها را به دست می آوریم وبا تشکیل یک نظام تناسبی و محا سبه ی یکی از فاکتورها در نهایت می توان برای محاسبه ی فاکتور دیگر فاکتور اول را از کل مقدار کسر می کنیم.

* هر گاه علامت = ورابطه ی تساوی میان دو نسبت و یا بین دو کسر متعارفی برقرار شود یک تناسب تشکیل می شود که به لحاظ ظاهری دارای چهار جایگاه می باشد که معمولاً یکی از آن مکان ها مجهول و متغییر است.

تناسب به لحاظ معنا و مفهوم دارای مقدار های معلوم و مجهول و جزئی و کلّی است که همیشه مقدار های جامع و کلّی در مخرج و یا پایین تناسب قرار دارد در حالی که مقدار های جزئی وسبک تر در بالا و صورت تناسب قرار می گیرند.

در حالت کلّی تناسب بر دو دسته است:

1- تناسب مستقیم

2- تناسب معکوس

1- تناسب مستقیم آن تناسبی است که با زیاد شدن ویا کم شدن یک کمّیّت ویا  فاکتور اندازه ی فاکتور و کمّیّت دیگر نیز به همان اندازه و به همان نسبت و در همان جهت زیاد و کم شود مانند مثال آرد و شکر برای تهیّه ی شیرینی که در سال گذشته بررسی شد.

2- تناسب معکوس آن تناسبی است که کمّیّت ها و فاکتور های مسئله در خلاف جهت یکدیگر حرکت می کنند یعنی با زیاد شدن یکی از فاکتور های مسئله فاکتور دیگر به همان نسبت حلّ می شود مانند مثال کارگرها وروزهای کاری که در سال آینده مورد بررسی قرار خواهد گرفت.

 

 

خطوط متوازی و مورب :

موازی بودن

 
دو خط مواز ی دو خطی هستند که اگر در یک صفحه تا بی  نهایت هم  ادامه یا بند  هیچ گاه یکدیگر را قطع نکنند و آن خطی که به صورت اوریب و زاویه دار به این خطوط متوازی برخورد نماید خط مورب نامیده می شود که حاصل این برخورد چهار زاویه ی تند مساوی و چهار زاویه ی باز مساوی است.                       a

        d                                                                         d     d’

       d’ 

* از هر نقطه خارج یا روی خط  تنها یک خط موازی یا یک پای عمودی توان رسم کرد

* دو خط عمود بر یک خط با هم موازی اند

* اگر دو خط هر یک جداگانه با خط دیگری موازی باشند خود نیز با هم موازی اند

* اگربخواهیم یک پاره خط رسم کنیم از خط کش استفاده می کنیم و دو پاره خط هم زمان رسم کنیم از پرگار استفاده می کنیم

زاویه های داخلی و خارجی مثلث :

در هر مثلث دلخواه زاویه های داخلی وخارجی مثلث علاوه بر 3زاویه ی داخل مثلث 3زاویه ی خارجی نیز وجود دارد که این 3زاویه خارجی از امتداد اضلاع داخل مثلث به وجود می آید.                                            a

 

* هر مثلث فقط 3زاویه داخلی و تنها 3زاویه خارجی دارد.                                                   C             b

* بدون در نظر گرفتن حالتهای خاص معمولا زوایای داخلی تند  (حاده )وزوایای خارجی معمولا باز (منفرجه)هستند.

* یک زا ویه داخلی و خارجی همسایه مکمل هم هستند یعنی مجموع آنها 180درجه است  . 

* اندازه ی هر زاویه ی خارجی مثلث با مجموع دو زاویه داخلی غیر مجاور مساوی است .

خواص چهار ضلعی ها :

چهار ضلعی ها آن دسته شکل های هندسی هستند که دارای چهار پاره خط به عنوان زاویه هستند  .

بعضی از معروف ترین این چهار ضلعی ها عبارتند از:

* متوازی الاضلاع  - لوزی – مستطیل –مربع – ذوزنقه

 

 

* خواص مشترک چهار ضلعی ها :

همه ی چهار ضلعی ها دارای چهار ضلع و پاره خط و هم چنین چهار گوشه و زاویه هستند .

مجموع تمام زاویه های داخل چهار ضلعی 360درجه است .

در تمام چهار ضلعی ها حداقل دو ضلع متوازی وجود دارد.

* خواص متوازی الاضلاع :

تمام اشکال مختلف چهار ضلعی ها از متوازی الاضلاع تولید وساخته شده اند.

درهر متوازی الا ضلاع  اضلاع دو به دو با هم موازی ومساوی اند.

درمتوازی الاضلاع زاویه های مقابل وروبه رو با هم مساویند ولی زاویه های مجاور وهمسایه مکمل یکدیگرند.

متوازی الاضلاع دو قطر  دارد و قطرهای متوازی الاضلاع منصف یکدیگرند.

* خواص لوزی :

در هر لوزی  اضلاع مجاور دو به دو با هم مساویند .

درهر لوزی زاویه های روبه رو و مقابل باهم مساویند.

قطرهای لوزی برهم عمود  هستند .

* خواص مستطیل :

در مستطیل طولها با هم موازی وموازی وعرضها با هم موازی ومساویند.

مستطیل دارای چهار زاویه ی قائمه ی مساوی است .

قطرهای مستطیل با یکدیگر مساویند.

* خواص مربع :

مربع تنها چهار ضلعی منتظم است .

مربع دارای چهار ضلع مساوی وچهارزاویه ی قائمه ی مساوی است .

قطرهای مربع با هم مساوی وعمود منصف یکدیگراند.

* خواص ذ وزنقه :

در ذوزنقه فقط دوضلع موازی وجود دارد.

انواع ذوزنقه عبارتند از:

1-متساوی الساقین   2-کلاسیک    3-قائم الزاویه

اعداد گویا:

مجموعه ی اعداد گویا مجموعه ای بزرگ از اعدادی می باشد که یا خودشان کسری ویا اینکه بتوان آنها را کسر متعارفی نوشت و می توان به صورتهای زیر آنها را نمایش داده .

 

* یک عدد گویا به عدد کسری مثبت یا منفی گفته می شود که مخرجش صفر نباشد.

* تمام اعداد اعشاری و اعداد مخلوط و کسری وصحیح همگی عدد گویا هستند .

* در ریاضیات اگر عددی گویا نباشد گنک یا اصم است .

* اعداد گنگ یا اصم اعدادی هستند که به هیچ وجه به یک کسر تبدیل نمی شود.

* درواقع این اعداد بی پایان هستند که دریک جا به صورت کسر هستند. رادیکالهای ناقص واعداد  اعشاری متناوب.

* از اجتماع اعداد  گویا وگنگ اعداد حقیقی به وجود می آیند.

* برای نشان داد ن بردار اعداد گویا ابتدا با نشان توجه به مخرج کسر تقسیم بندی محور را انجام می دهیم .سپس می توان با توجه به فرمول زیر برای آن جمع وتفریق برداری نوشت .

 

 

* برای جمع وتفریق اعداد گویا به مانند کسرها ابتدا باید مخرج مشترک گرفته شود  سپس با توجه به تغییر مخرج ها صورت های تغییریافته را د ر کنار هم با توجه به قوانین اعداد صحیح در کنار هم محاسبه کنیم .

* برای ضرب اعداد گویا صورت درصورت  و مخرج در مخرج ضرب انجام داد ه است .

* برای تقسیم اعداد گویا یا کسری کسر اول را در وارونه ی کسر دوم ضرب کرده و سپس ساده می کنیم .

* علامت + یا – یک کسر می تواند در پشت صورت ویا مخرج ویا پشت خط کسری قرار گیرد.

عبارتهای جبری :

در ریاضیات از حروف الفبای لاتین برای بیان کردن ونشان دادن اشیاء ومجهول و ناشناخته استفاده می شود که به این حروف متغیر یا پارامتر نیز گفته می شود هم چنین در پشت این حروف از اعدادی استفاده می شود  که نشانگر تعداد این حروف می با شند که به آنها ضریب گفته می شود.

* هر عبارت جبری یا جمله ی جبری در واقع ترکیبی از حروف (متغیرها) درکنار اعداد (ضریب) ها می باشد که عملیاتهای ریاضی ضرب یا تقسیم یا توان یا همه ی آنها این اعداد وحروف ها را به هم پیوند داده است .مثلا :عبارت جبری زیر شامل 8جمله جبری است .

* آن دسته از عبارتهای جبری که دارای قسمت حرفی برابر ویکسان می باشند جملات جبری مشابه نامیده می شوند که به کمک قوانین 3گانه ی اعداد صحیح فقط قسمت عددی آنها را جمع وتفریق می کنیم .

* هر عبارت جبری به خودی خود جواب پایانی وعددی ندارد اما می توان مثلا در قالب یک جدول به ازای مقدارهای مختلفی که برای متغیر آن عبارت در نظر گرفته می شود این اعداد  را به جای آن حرف قرار داد سپس آنها را محاسبه کنیم .

 

معادلات جبری :

معادله یک تساوی حرفی است که به ازای بعضی از مقادیر مجهول قابل حل وریشه یابی است .

* آن دسته از معاد لاتی که بیش ترین توان آنها یک می باشد معادلات درجه اول نامیده می شود .

* آن دسته از معادلاتی که مجهول ومتغیر آن ها فقط از یک جنس باشد یک مجهولی نامیده می شود.

* برای حل تمامی معادلات ابتدا می بایستی معلوم ومجهول کرد یعنی تمام متغیر ها و مجهولات را در یک طرف مساوی وتمام عددها و معلومات را در طرف دیگر تساوی قرار داد.

* هر عدد یا عبارتی که از یک طرف تساوی به طرف دیگر تساوی انتقال یابد علامت پشت آن عوض شده و قرینه می گردد.

* بسیاری از مسائل ریاضی را می توان به کمک معادلات حل وبررسی کرد ودر اینجا تنها کافی است مجهول خواسته شده در مسئله را x در نظر گرفته و مابقی عددهای مسئله بر طبق آن x تشکیل دهیم.

مختصات:

در قرن 17 میلادی دانشمندی به نام دکارت برای اولین بار با درجه بندی یک صفحه کاغذ توسط دو محور عمود بر هم توانست با نام گذاری محور ها برای هر نقطه در صفحه دو ویژگی را بیان کند. دکارت دو محور عمود بر هم رسم کرد که هر یک از این محورها دارای اسم مخصوص به خود می باشند.

* محور افقی همان x ها و یا همان محور i ها نشان دهنده ی طول نقطه در صفحه است.

* محور عمودی همان محور y ها و یا همان محور j ها که نشان دهنده ی عرض نقطه در صفحه است.

* اگر طول و عرض یک نقطه را به صورت بالا و پایین در داخل یک جفت کروشه بنویسیم مختصات آن نقطه را تشکیل داده ایم.

* به صفحه ای که بردار های مختصاتی در آن رسم می شوند صفحه ی مختصاتی یا دکارتی گویند

* از بر خوردمحور های عمود بر هم صفحه ی مختصاتی به چهار ناحیه و قسمت تقسیم می شود.

* به علت عمود شدن محور ها بر هم قسمت بالا و سمت راست محور ها مثبت است در حالی که قسمت پایین و سمت چپ محور ها منفی است.

* محل برخورد محور های مختصاتی را مبدا مختصاتی می نامند که در این نقطه طول و عرض 0 است.

* هر نقططه ای که طولش 0 باشد روی محور عرض ها قرار می گیرد در حالی که هر نقططه ای عرضش 0 باشد روی محور طول ها قرار می گیرد.

* برای جمع و تفریق مختصات ها باید تمام ططول ها و تمام عرض ها را با هم بق قوانین سه گانه جمع و تفریق شوند.

* بردار انتقال پاره خط جهت داری است که وظیفه ی آن انتقال نقطه ی شروع یا مبدا به نقطه ی پایان یا مقصد است.

* برای محاسبه ی مختصات «پیدا کردن طول و عرض» بردار انتقال کافیست که مختصات نقطه ی پایانی را منهای مختصات نقطه ی اولی کنیم.

مساحت قسمت رنگی:

برای بدست آوردن مساحت رنگی می بایستی مساحت تمام اشکال درهم آمیخته را از هم کسر کنیم.

مساحت مربع : یک ضلع ضرب در خودش یا مجذور یک ضلع

مساحت دایره : یک ضلع به توان 2 در عدد پی

مساحت مستطیل : ططول ضربدر عرض

مساحت متوازی الاضلاع : قاعده ضرب در ارتفاع

مساحت لوزی :حاصل ضرب قطر های بزرگ و کوچک تقسیم بر دو

مساحت ذوذنقه : جمع قاعده های بالا و پایین ضرب در ارتفاع تقسیم بر دو

مساحت مثلث : قاعده ضرب در ارتفاع تقسیم بر دو

تقارن محوری :

برای نمایش تقارن محوری یا رسم قرینه ی محوری می بایست از تمام نقاط مشخص شکل به صورت عمود و مستقیم بر خط داده شده که همان محور است رسم کرد. سپس به همان میزانی که رسم شده در طرف دیگر محور خطوط را ادامه داد تا قرینه ی آن شکل نسبت به محور داده شده به دست آید.

* اکثر اشکال هندسی دارای محور تقارن هستند اما متوازی الاضلاع محور تقارن ندارد.

* منظور از محور تقارن خطی است که شکل را به دو قسمت کاملا مساوی و قابل انطباق تقسیم می کند.

* در بررسی محور های تقارن بعضی اشکال هندسی نتایج زیر به دست آمد :

دایره : بی شمار          مربع : چهار          مثلث : سه       مستطیل : دو        ذوذنقه : یک          لوزی : دو

تقارن مرکزی :

منظور از رسم تقارن مرکزی و یا نمایش قرینه ی مرکزی این است که از هر نقطه ی مشخص شکل داده شده ی خطی را مستقیما به سمتنقطه ی مرکزی داده شده رسم کنیم سپس به همان اندازه امتداد دهیم تا قرینه ی مرکزی شکل مورد نظر نسبت به مرکز داده شده به دست آید.

حجم اشکال سه بعدی :

شکل های سه بعدی آن شکل هایی هستند که دارای سه بعد یا وجه باشند مانند : مکعب مستطیل و مکعب مربع و انواع منشورها و ...

یادآوری می کنیم که منشور یک شکل سه بعدی است که قسمت بالا و پایین آن یک چند ضلعی مشابه با هم قرار گرفته باشند و به همین لحاظ است که می توان مکعب ها را نوعی منشور چهار پهلو دانست.

برای محاسبه ی حجم اشکال سسه بعدی یک دستور و فرمول کلی دارد که عبارت است از مساحت قاعده ضرب در ارتفاع

* برای محاسبه ی حجم مکعب مربع اندازه ی ضلع داده شده را به توان 3 می رسانیم.

* برای محاسبه ی حجم مکعب مستیل ابعاد ططول و عرض و ارتفاع را در هم ضرب می کنیم.

* برای محاسبه ی حجم استوانه کافیست که مساحت دایره ی پایین را ضرب در ارتفاع کنیم.

* برای محاسبه ی حجم منشور سه پهلو قائم الزاویه تمام اندازه ها را در هم ضرب می کرده تقسیم بر 7 می کنیم.

















 

 |+| نوشته شده در  شنبه 1390/11/15ساعت 17  توسط amini  | 

هجم شکل های سه بعدی

هر شکلی از سه طرف دیده  شود و اندازهای آن ها در سه بعد نوشته شده باشد یک شکل سه بعدی است  و می دانیم که همه ی شکل های سه بعدی دارای هجم هستند.

حجم فضای اشغال شده درون یک شکل سه بعدی است که برای هر شکل دارای فرمول متفاوتی می باشد.

*1.برای محاسبه ی حجم هرم و مخروط از فرمول زیر استفاده می کنیم.

 

 

*2.شکل کره هم دارای مساحت است و هم دارای حجم دارای حجم که فرمول های ان ها به شکل زیر هستند:

 

 

-مساحت و حجم کره ای را به دست آورید که شعاع آن     3 باشد؟

 

-مساحت و حجم کره ای را به دست آورید که شعاع آن      2باشد؟

 

 

 

-اگر قطر نیم دایره ای      18باشد و این نیم دایره دوران کند مساحت و حجم شکل حاصل را بدست آورید.

 

-حجم مخروطی را محاسبه کنید که شعاع قاعده ی آن 3و ارتفاع آن     10 باشد.

 

-حجم مثلث قائم در حال دورانی را بدست آورید که شعاع قاعده ی آن   5باشد.(ارتفاع مخروط   2است.)

-هجم هرمی را بدست آورید که مساحت قائده ی آن 15 و ارتفاع آن    20باشد.

 

-حجم هرمی را به دست آورید که ارتفاع آن     15 و مساحت قاعده ی آن    12باشد.

 

((تقسیم پاره خط به قطعات مساوی))

هر گاه بخواهیم یک پاره خط را به چند قطعه ی مساوی تقسیم کنید با یک زاویه ی مشخص از دو سر پاره خط دو نیم خط موازی رسم می کنیم سپس به تعداد قطعاتی که می خواهیم داشته باشیم روی نیم خط ها جدا می کنیم و آن ها را به هم وصل می کنیم.

مثال)پاره خط داده شده ی زیر را به طول    به     قسمت مساوی تقسیم کنید.

 

مثال)یک پاره خط به طول     6رسم کنید و آن را طوری تقسیم کنید که یکی از قسمت ها دو چهارم قسمت دیگر باشد؟

 

مثال)پاره خط    را به طول   5 رسم کنید و آن را به طوری به دو قسمت تقسیم کنید که یکی از 4قسمت برابر دیگری باشد.

 |+| نوشته شده در  شنبه 1390/11/15ساعت 17  توسط amini  | 

هندسه ی2:

قضیه ی تالس*

تالس یک دانشمند یونانی پیش از میلاد مسیح بود که توانست برای آن دسته از مثلث ها هایی که یک ضلع موازی با یکی از اضلاع مثلث رسم می شد دو رابطه تهیه کند که از این روابط برای محاسبه ی قطعات جزئی یا کلی استفاده می شد.

 

 

*اگر پاره خطی موازی با یکی از ضلع های مثلث رسم شود آن گاه روابط جزء و جءبه کل می تواند برقرار شود.

*شرط لازم و کافی برای ا که برای دو پاره خط در یک مثلث با هم موازی باشند آن است که یکی از روبط جزء بهجزءیاجزء به کل در آن برقرار شود.

مثال)در هر یک از شکل های داده شده ی زیر اندازه ی پاره خط مجهول را بدست آورید.

 

 

 

 

مثال)در هر یک از شکلهای داده شده ی زیر کدام شکل دارای دو پاره خط موازی است؟

 

 

مثال)در هر یک از شکل های داده شده ی زیر اندازه ی پاره خط مجهول را بدست آورید.

 

 

*تشابه مثلث ها

-دو مثلث را زمانی متتشابه می گویند که یکی از حالت های زیر برای آن دو مثلث اتفاق بیافتد:

1.هر گاه به توان دو زاویه ی مساوی از هر دو مثلث پیدا کرد آن دو مثلث با هم متشابه خواهند بود.

2.هرگاه دومثلث دارای اضلاع متناسب باشند یعنی یک تناسب بین اضلاع آن ها برقرار باشد با هم متشابه خواهند بود.

نسبت تشابه مثلث ها :

 

تشابه چهار ضلعی ها:

دو چهار ضلعی دلخواه زمانی با هم متشابه هستند که یا زاویه های آن ها با هم برابر باشد و یا آنکه اضلاع آن ها با هم متناسب باشد.

*1.هر دو مربع دلخواه با هم متشابه باشند.

*2.هر دو مستطیل دلخواه با هم متشابه اند.

سوالات تشابه:

1.دو لوزی متشابه اند و نسبت تشابه به آن ها     است.اگر اندازه ی ضلع یکی از آن ها 15 سانتی متر باشد اندازه ی ضلع دیگری چقدر است؟

 

2.نقشه ی هر مکان با آن مکان متشابه است و نسبت تشابه آن ها را مقیاس نقشه گویند.اگر مقیاس نقشه ای          و فاصله ی دو نقطه در نقشه 4 سانتی متر باشد فاصله ی نقاط متناظر آن ها در طبیعت چقدر است؟

3.چرا دو مثلث      و     متشابه اند؟ تناسب اضلاع آن ها را بنویسید و زاویه های متناظر را در دو مثلث مشخص کنید.

4.ثابت کنید که دو مثلث       و       متشابه اند. تناسب بین ضلع های متناظر را بنویسید.

 

5.ثابت کنید که در دو مثلث     و     متشابه اند. سپس اندازه ی      را حساب کنید.

 

6.ثابت کنید که دو مثلث       و      متشابه اند  و از آن ها نتیجه بگیرید:

 

7.     ارتفاع وارد بر وتر مثلث قائم الزاویه ی       است. ثابت کنید که     و     است. سپس نسبت اضلاع متناظر آن ها را بنویسید و از آن نتیجه بگیرید

 |+| نوشته شده در  شنبه 1390/11/15ساعت 17  توسط amini  | 

دستگاه معادلات دو مجهولی

اگر در یک صفحه ی مختصات دکارتی دو خط با معادلات غیر استاندارد وجود داشته باشند برای تعیین مختصات نقطه ی برخورد این معادلات را در یک آکولاد و با استفاده از روش حذفی مورد بررسی قرار می دهیم.

مثال1)هر یک ز دستگاه معادلات زیر را حل کنید.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.هریک از معادلات زیر را حل کنید.

نمونه سوالات معادله خط(دستگاه معادلات)

1.معادله خطی بنویسید که از نقطه ی       عبور کرده و با خط                  موازی باشد.

 

 

2.معادله خطی بنویسید که از نقطه       گذشته باشد و با خطی به معادله ی      موازی باشد.

 

3.معادله خطی بنویسید که از نقطه ی       گذشته باشد و بر خط              عمود باشد .

 

4.معادله خطی بنویسید که از نقاط      و       گذشته باشد.

 

 

5.معادله خطی بنویسید که از نقاط       و       گذشته باشد.

 

 

6.معادله خطی بنویسید که از نقاط        و       عبور کند.

 

7.دستگاه دو معادله ی دو مجهول زیر را حل کنید.

 

8.هریک از دستگاه های زیر را حل کنید.

 

9.معادله خطی بنویسید که از نقطه داده شده زیر گذشته باشد.

 

10.معادله خطی بنویسید که از نقطه ی      گذشته باشد و با خط                موازی باشد.

 

11.معادله خطی بنویسید که بر خط              عمود باشد و محور عرض ها را در نقطه ی      قطع کرده باشد.

 

12.مقدار پارامتر    را طوری تعیین کنید که معادله خط داده شده ی زیر از نقطه ی     گذشته باشد و با خط             موازی باشد

 |+| نوشته شده در  شنبه 1390/11/15ساعت 17  توسط amini  | 

معادله ی خط

به طور کلی تمامی خطوطی که به صورت یک خط راست در صفحه ی محور های مختصاتی در حال گذر هستند دارای فرمول یا رابطه ی خاصی از طول و عرض و شیب خط و عرض از مبدأ می باشند که یه صورت زیر مشخص می شود .

 

*فرم استاندارد هر معادله خط به صورت فرمول بالا می باشد . در صورتی که از یک معادله خط غیر استاندارد استفاده شده باشد ابتدا با تقسیم طرفین معادله بر ضریب (y) و در نهایت با جا به جا کردن (y) به صورت مثبت (+) در یک طرف معادله,معادله خط را استاندارد می کنیم .

 

مثال: شیب خط و عرض از مبدأ معادله زیر را به دست آورید .

 

 

 

 

 

 

مثال ها

 1-هریک از معادلات خط داده شده را از حالت غیر استاندارد به حالت استاندارد تبدیل کرده سپس شیب خط و عرض از مبدأ آن را به دست آورید .

 

 

 

 

 

*2- برای رسم یک خط راست کافی است که دو نقطه از آن را داشته باشیم در این صورت این دو نقطه را به هم وصل کرده و از دو طرف امتداد می دهیم تا خط ترسیم گردد به این ترتیب به (x) مقدار می دهیم تا (y) به دست آید .

 

مثال : هر یک از معادلات داده شده زیر را در یک دستگاه مختصاتی  رسم و نمایش دهید .

 

 

 

 

 

 

مثال : شیب خط و عرض از مبدأ معادله خط                را به دست آورده سپس این خط را در یک صفحه ی مختصات دکارتی رسم کنید .

 

 

 

 

 

 

 

 

شیب خط و عرض از مبدأ معادله خط             را به دست آورید و روی صفحه ی

دکارتی نشان دهید

 |+| نوشته شده در  شنبه 1390/11/15ساعت 17  توسط amini  | 

 

ص84 س1 : اندازهی هر ضلع یک مثلث متساوی الا ضلاع،8سانتی متراست.طول ارتفاع این مثلث را حساب کنید ومساحت ان را دست اورید(راهنمایی ارتفاع نظیر هر ضاع مثلث متساوی الا ضلاع.آن ضلع را نصف می کند.)

 

 

ص84 س2: مستطیلی است به ابعاد 20سانتی متر و15سانتی متر؛اندازه ی قطر آن چند سانتی متر است؟

ص84 س4: اندازه ی قطر یک لوزی 28 سانتی مترو21سانتی متر است اندازه ی هر ضلع آن چند سانتی متر است؟

ص84 س5: در یک دایرهء وتری به طول 56 سانتی متر رسم کرده ایم.اگر فاصله ی مرکز دایره تاوتر 21سانتی متر باشد،شعاع دایره را حساب کنید .(راهنمایی درهر مثلث متساوی الساقین ارتفاع واردبر قاعده را نصف می کند.))

 

ص83س :در هر شکل x راحساب کنید.

 

ص83س3:در مثلث قائم الزاویه ی ABC واندازه ی ضلعACرا حساب کنید

ص80س1:درستی رابطه فیثاغورس را در هر یک از مثلث های قائم الزاویه ی زیر تحقیق کنید.

 

 

 

ص77س3:در شکل مقابل،اندازه کمان های ACوBCداده شده است.اندازه ی هریک از زوایای مثلثABC را تعین کنید

 

 

ص77س4:اندازه کمان ABبرابر120درجه است .اندازه ی هریک از زوایای MوN,Pچند درجه است؟آیا می توان گفت که در یک دایره ،زوایای محاطی مقابل به یک مکان باهم مساوی اند ؟بله میتوان گفت

 

 

ص77س9:اندازه ی زاویه ی مرکزی BOCرا تعین کنید.                                                   

 

 

 

ص77س7:در شکل مقابل اندازه زاویه محاطی Aرا تعیین کنید

 

 

ص76س1:در شکل های زیر چند ضلعی های منتظم را مشخص کنید و نام آن ها را بنویسید .

 

 

ص76س2:زاویه مرکزی AOBمساوی با 45ًاست .به کمک این زاویه دایره را به8 کمان تساوی تقسیم کنید . آیا نقاط تقسیم ، راس های یک 8 ضلعی منتظم اند

 

 

 

ص71س1: کمان ABوCDباهم مساوی اند.

الف)چرا مثلث های OABوOCD متساوی اند؟

ب)آیا وتر های ABوODباهم مساوی اند؟

 

 

 

ص72س2:وتر های ABوCDباهم مساوی اند.

الف)چرا مثلث های     و    باهم مساوی اند؟

ب)آیا کمان های ABوCDمتساوی اند؟

از این فعالیت چه نتیجه ای میگیرید؟

 

ص70س2:دو زاویه مرکزی AOBوCODبا هم مساوی 55=AB؛اندازه کمانCDچند برابراست؟

 

 

 

ص70س1:با توجه به شکل اندازه کمان وزاویه های زیرا بنویسید.

 

 

نمونه سوالات هندسه 1

 

(1)آیا مثلثی با اندازه های4و5و7میتواند یک مثلث قائم الزاویه باشد؟

شرط لازم وکافی برای ان که یک مثلثی قائم الزاویه باشد ان است که رابطه فیثاغورس در آن بر قرار باشد. رابطه برقرار نیست بنا بر این قائم الزاویه هم نیست.

 

2-آیا مثلثی با اندازه های 5و3و4میتواند یک مثلث قائم الزاویه باشد؟ خیر یا بله؟چرا؟رابطه بر قرار شد پش قائم الزاویه است

 |+| نوشته شده در  شنبه 1390/11/15ساعت 17  توسط amini  | 

آمار

علم آمار یکی از شاخه های علم ریاضی است که وظیفه ی آن جمع آوری اطلاعات عددی(      )و پردازش این اطلاعات به کمک فرمول ها و روابط ریاضی در داخل جدول های آماری(               )می باشد.

*برای ایجاد یک نظم منطقی در اطلاعات آماری جدول آماری را مانند مثال داده شده ی زیر کامل می کنیم:

مثال اول:نمرات ریاضی دانش آموزان یک کلاس به صورت زیر آمده است. این اطلاعات را در یک جدول آماری مرتب و محاسبه کنید.

 

 

 

 

 

 

 

مثال:نمرات درسی دانش آموزان کلاسی به ترتیب زیر آمده اند با رسم یک جدول آماری این اطلاعات آماری را کامل کرده و ستون های آماری را تشکیل دهید.

 

 

 

 

 

 

 

سوال: جدول آماری زیر را کامل کرده سپس میانگین نمرات و نمودار ستونی آن را نمایش دهید.

 

 

 

 

 

در بررسی نمرات ریاضی یک آموزشگاه نمرات زیر به دست آمده اند.با تشکیل جدول آماری و میانگین تقریبی و هم چنین نمودار ستونی این اطلاعات عددی را نمایش دهید.

 

 

 

 

 

 

 

 

هر یک از جدول های آماری زیر را کامل کنید

 |+| نوشته شده در  شنبه 1390/11/15ساعت 17  توسط amini  | 

سوالات امتحانی ترم اول

1.جملات در ست را با علامت(    ) و نادرست را با علامت (     )مشخص کنید.

الف)عدد اول را نمی توان به صورت حاصل ضرب دو عدد طبیعی بزرگتر از یک نوشت.(    )

ب)همه ی مضرب های عدد 5 مرکب هستند.(    )

ج)          عددی گویا است.(     )

د)مجموع دو عدد اول عددی مرکب است.(    )

2.در هر یک از پرسش های زیر گزینه ی مناسب را انتخاب کنید.

الف)مقدار عددی عبارت        به ازای        برابر است با:

1)12 -                   2)11-                        3)18+                   18)4-

ب)صورت دیگر مجموعه ی                                کدام است؟

1)                           2)                            3)                         4)

ج)جذر عددی 12 و باقی مانده ی آن جذر 15 است . آن عدد برابر است با:

1)  25                       2)159                      3)39                         4)155

د)حاصل عبارت(44/3+5-)برابر است با:

1)56/1-                    2)44/8                     3)49/3                        4)49/3-

ه)اگر           باشد مختصات         برابر است با:

1)                           2)                             3)                             4)

ی)      عدد       به صورت توان دار کدام است؟

1)                          2)                           3)                                4)

3.جملات زیر را با کلمات مناسب کامل کنید.

الف)دو بردار در صورتی با هم مساوی اند که هم جهت و هم اندازه و..............باشند.

ب)تعداد ارقام اعشاری جذر ......................تعداد ارقام اعشاری عدد اصلی است.

ج)کلیه ی اعداد اول به غیر از دو...................هستند.

4.پاسخ هر یک از سوالات زیر را با راه حل کامل بنویسید.

1 .الف)اعداد اول بین60 تا70 را بنویسید.

.

 

ب)آیا عدد 209 اول است؟ چرا؟

18.2 کارگر کاری را 6 روزه انجام می دهند. اگر     کارگر ها سر کار حاضر نشوند همان کار چند روزه به پایان می رسد؟

 

3.حاصل هر یک از عبارت های زیر را به صورت توان دار بنویسید.

الف)

 

ب)

 

ج)

4. الف) جذر عدد 5/10 را حساب کنید.

 

 

ب)آیا ممکن است جذر عددی 4/1 و باقی مانده ی جذر29/0 باشد؟ چرا؟

 

5.الف)صورت دیگر مجموعه های زیر را بنویسید.

 

ب)حاصل عبارت های زیر را به دست آورید.

الف)

ب)

6.الف)جمع متناظر بردار      را بنویسید.

 

ب)اگر                 و                 آنگاه مختصات               را به دست آورید.

 

ج)برای شکل زیر تساوی جمع برداری بنویسید.

 

د)بردار های              و                 و همچنین بردار حاصل جمع         را در یک دستگاه مختصات نشان دهید.

 

 

7.عبارت های داده شده ی زیر را به ساده ترین صورت ممکن بنویسید.

الف)

 

ب)عبارت زیر را به صورت حاصل ضرب دو عبارت جبری بنویسید.(فاکتور گیری)

 

ج)مقدار عددی عبارت           را به ازای        و             را به دست آورید.

 

8.معادله ی زیر را حل کنید.

 

 

9.برای مساله ی زیر معادله ای بنویسید.(حل معادله الزامی نیست)

اگر به     عددی 4 واحد اضافه کنیم حاصل مساوی با قرینه ی آن عدد می شود.آن عدد کدام است.

 |+| نوشته شده در  شنبه 1390/11/15ساعت 17  توسط amini  | 

مختصات

همان طور که در سال گذشته بررسی شد می توان با درجه بندی کردن یک صفحه توسط دو محور عمود بر هم هر نقطه ای که در این صفحه ی مختصاتی  قرار گیرد دارای آدرس طول و عرض یا همان  و  می باشد .

 

 

* بردار پاره خط جهت داری است که دارای چهار ویژگی اصلی است:

1.ابتدا و نقطه ی شروع

2.انتها و  نقطه ی پایان

3.اندازه و طول و عرض بردار

4.جهت و سوی بردار

*در دستگاه مختصات دکارتی یک بردار به مانند نقطه دارای مختصات طول و عرض می باشد که به ترتیب زیر محاسبه می شود:

مختصات ابتدا- مختصات انتها=مختصات بردار

*در دستگاه مختصاتی چهار ناحیه در یک صفحه از محل برخورد دو محور عمود بر هم ایجاد می شود که محور افقی را محور طول ها       و محور عمودی را محور عرض ها           نامیده می شود.

*هر نقطه یا برداری که در دستگاه مختصاتی نمایش داده می شود دارای مختصات و ویژگی طول و عرض است که به صورت        نشان داده می شود.

*در علامت گذاری محور ها سمت بالا و راست همیشه مثبت و پایین و سمت چپ همیشه منفی است.

*اگر نقطه ای روی محور طول ها قرار گیرد عرض آن صفر می شود.

*اگر نقطه ای روی محور عرض ها قرار گیرد طول آن صفر ی باشد.

*برداری که طول و عرض آن صفر باشد بردار صفر نامیده می شود با علامت        نشان داده می شود.

*برداری که شروع آن مبدا مختصاتی و انتهای آن یک نقطه در دستگاه مختصاتی باشد بردار مکان آن نقطه نامیده می شود.

*دو بردار زمانی با هم مساوی و هم سنگ نامیده می شوند که اولا با هم اندازه باشند ثانیا هم جهت باشد و ثالثا با هم موازی باشند.

*می توان هر بردار را به فرم و شکل  و   نیز نمایش داد مثلا مختصات    را به صورت     نمایش داد که در واقع     معرف طول مختصات و     معرف عرض   مختصات خواهد بود.

*در محاسبات نوشتاری می توان به جای حرف     از مختصات       وبه جای حرف     از مختصات      استفاده کرد.

*اگر یک عدد در پشت یک کروشه ی مختصات بدون هیچ گونه عملیاتی حضور یابد به عنوان ضرب در طول  و عرض مختصات اثر می کند که به این خاصیت ضرب اسکالر گفته می شد.مانند:

 

*علاوه بر جمع کردن مختصات بردار ها به روش عددی و جبری می توان بردارها را به صورت هندسی در دو روش مختلف با هم جمع و وصل کرد.

*اگر دو بردار در دستگاه مختصاتی پشت سر هم و قطاری حرکت کنند از روش مثلثی برای جمع این دو بردار استفاده می کنیم به این ترتیب که اول اولین بردار را به آخر آخرین بردار وصل می کنیم.

*اگر دو بردار با هم هم مبدا باشند از روش متوازی الاضلاع برای جمع آن دو بردار استفاده می کنیم به این ترتیب که از انتها ی حرکت از بردار ها هم اندازه و هم جهت و موازی با بردار دیگر ترسیم می کنیم تا یک متوازی الاضلاع تشکیل شود وقطر اصلی این متوازی الاضلاع همان بردار حاصل جمع بر آیند می باشد.

*همان طور که در سال گذشته بررسی شد معادلات جبری را به صورت معلوم و مجهول کردن و ساده کردن طرفین حل و بررسی می کردیم حال اگر به جای اعداد از مختصات بردار ها استفاده شود همین مراحل را اجرا خواهیم کرد .مانند:

 |+| نوشته شده در  شنبه 1390/11/15ساعت 17  توسط amini  | 

مجموعه ی اعداد حقیقی

مجموعه ی بسیار بزرگ و غیر قابل تصور اعداد حقیقی حاصل اجتماع بزرگ اعداد گویا(کسری)و اعداد گنگ (اصم)می باشد

یاد آور می شویم که اعداد گویا تمام اعداد مثبت و منفی و صفری می باشد که به توان به طریقی آن را به یک کسر تبدیل کرد در حالی که اعداد گنگ یا( اصم) اعدادی هستند که به هیچ وجه نتوان آن ها را به صورت یک کسر در آورد.

تمام اعداد طبیعی و حسابی و صحیح به صورت مثبت یا منفی جزء خانواده ی اعداد گویا می باشد اما اعداد گنگ شامل اعداد اعشاری متناوب و بدون پایان همچنین اعداد رادیکالی ناقص می باشد.

 

 

 

 

 

سوال 1.کدام یک از عبارت های داده شده ی زیر صحیح و کدام یک نادرست است.

 

 

 

سوال2.عدد رادیکال 2 را روی محور اعداد نمایش دهید.(رابطه ی فیثاغورث)

 

سوال3:عدد رادیکال 5را روی محور اعداد نمایش دهید.(رابطه ی فیثاغورث)

 

 

سوال 4:هر یک از مجموعه های داده شده ی زیر را به صورتی دیگر بنویسید.

 

 

 

سوال5:هر یک از عبارت های زیر به اشتباه نوشته و نگارش شده است –اشتباه عبارت را تصحیح کنید

 |+| نوشته شده در  شنبه 1390/11/15ساعت 17  توسط amini  | 
 
  بالا